1882年，得克萨斯州议员诺加·米尔斯对数学进行了谴责，他的发言是人类最诚恳的演说之一。他说：“我认为数学是一门神圣的科学，它是启迪神灵的惟一科学，所说的都是正确的。我所受到的教育一直是：数学展示了真理，也知道在天文学、哲学、几何学和所有其他学科中，总有些问题需要推测，而数学如同《启示录》的声音一样，它开口时总是说：‘上帝是这样说的。’但是，这里有个新的数学体系表明，真理就是谬误。”
米尔斯所说的问题是共和国成立以来众议院一直面临的问题：每个州应该分配多少个代表？国会代表按比例分配的数学听起来像是采用简单的、人们拥护的一人一票的方法。但是，像直接选举方案一样，间接代表制却受着数学上悖论的严重困扰，从而遭到米尔斯议员的强烈抨击。直接选举方案的悖论是策略运筹学性质的，它牵涉到选举人合谋选举他们自己的候选人。国会代表分配的问题，只是每个州分配到的代表人数，而不是怎样选代表的问题。按比例分配属于应用数学领域，叫做社会选择理论。
为什么按比例分配是这样一个问题呢？美国宪法第一条第二款似乎提供了一个直接的答案：每个州派往众议院的代表人数应与本州人口成比例。问题是，虽然一个国会议员的忠心可分，而他的躯体却不可分；人就像便士或电荷或亚原子自旋状况一样，是量子化的。
假定你要在只有两个州的国家成立一个众议院：X州有人口11，Y州有人口23。每个州按其人口选派代表，最小的众议院会是怎样的呢？最小的众议院会有34个成员，如果成员少一些，则其中一个州（或两个州）会出现一个分数代表。换句话说，当H（众议院的人数）少于34人，X和Y就没有整数（分别为X州和Y州的代表人数）能符合等式X＋Y＝H和X／Y＝11／23。为人口34而成立的一个34个成员的众议院，当然不是确切的间接代表制。
像我们有50个州这样大的国家，这些州的人口数量相互之间又没整倍数，问题就明显地复杂了。在一个特定规模的众议院，每个州的理想代表人数是按该州人口与总人口的比率乘众议院总成员数得出的。（因此，如果众议院有235个席位，在一个人口为231，575，493的国家里，人口为2，559，253的州有资格成为代表的理想数字为2．597099个：2，559，253／231，575，493×235。）既然这个理想数字可能是个分数，并且不允许代表出现四分之一这种数，那就需要有个更好的分配代表的方法了。
许多开国元勋，包括亚力山大·汉密尔顿、托马斯·杰佛逊和丹尼尔·韦伯斯特，曾提出他们各自的解决方法。财政部长汉密尔顿的方法最容易理解，他的方法于1792年经国会通过但紧接着被乔治·华盛顿否决——华盛顿在任8年中只行使过两次否决权，这是其中的第一次。按照汉密尔顿的方法，开始时先给每个州一个代表数，与其理想的代表的整数部分相等，舍弃其分数部分。换言之，如果佛蒙特州理想的代表人数为3．62，它就有3个代表。在这个基础分配的代表人数上计算出代表总数，如果总数没有达到众议院要求的人数，就取那些舍弃了的最大分数值的州的代表，进众议院。
汉密尔顿的按比例分配方法很容易说明。下表显示5个州的人口和在一个有26个席位的众议院中，每个州所能获得的代表人数。
用汉密尔顿的方法，在一个26席位的众议院，A、B、C、D和E开始时分别获得以下代表数：9、7、5、3和1，但只占26个席位中的25个席位，D州有最高分数（0.319），因而它可增加一个代表，共4个代表。
汉密尔顿的方法至少符合一个平等的原则：它给每一个州能够就近上下浮动的理想的代表数。换句话说，如果D州的理想代表数为3．319，他的方法总会给D州3个或4个代表，永远不会给2或5个代表。符合这个自然准则的方法据说能满足定额。许多别的方法不能满足定额，这定额似乎是你所希望的一种被认为是公平的按比例分配方法的最低的定额。
可是，汉密尔顿的方法违背另一个更难理解的公平准则。在我们5个州的例子里，设想众议院的规模由26个席位增加到27个：
在27席位的众议院，A、B、C、D和E各州分别获得9、8、6、3和1个代表数。奇怪的是，即使众议院的规模增加了，D州却少了一个代表。这是汉密尔顿方法的一个严重缺点。可以这样想：虽然总人口和D州的人口都一点儿没有变，众议院人数增加了，D州的代表人数现在反而较少了。数学上一种令人痛苦的扭曲，叫做亚拉巴马悖论，使D州处于双重的不利境地（因为这种悖论是头一次在牵涉到亚拉巴马州的计算中发觉的）。上述5个州的例子是迈克尔·巴林斯基和H．佩顿·扬在一篇关于按比例分配的文章中虚构出来的。巴林斯基和扬花了9年时间调查按比例分配问题中数学的悖论，研究按比例分配提案的政治辩论历史。我的大部分叙述是以他们的著作为基础的。
这个亚拉巴马矛盾——在一个更大的众议院一个州会失去一个代表——并不是华盛顿否决汉密尔顿提案的原因。确实没有证据能证明开国元勋们知道这种数学的特殊性。华盛顿在否决汉密尔顿提案时，是被国务卿托马斯·杰佛逊的论点所左右。杰佛逊告诫说：“不损害宪法是最基本的问题，他们耍弄的按比例分配数字的花招，是很危险的。”杰佛逊自己提出了一个方案，华盛顿采纳了，尽管其方案有违反定额的严重缺点。
在巴林斯基和扬的5个州例子中，因总人口（26，000）除以众议院规模（26）是1，000，每一个众议院成员理想地代表着1，000个人。汉密尔顿的方法是把每州的人口除以1，000，然后除了有最高分数的州外，其余州的分数全部舍弃，最高分数按需要入到整数，以凑满众议院人数。杰佛逊的方法不用1，000做除数（也叫最大除数方法），要求用最大的除数，以产生每个州的代表数，不变动这些数或舍弃其分数，以达到众议院的规模。换句话说，这些数绝不需要升值。在5个州的例子中，906．1成为最大的除数，由此可得出以下结果：
如上表所示，杰佛逊和汉密尔顿的方法产生不同的结果。用杰佛逊的方法，A州——人口最多的州——多得一个代表（D州失去一个代表）。杰佛逊的方法帮助了A州并非侥幸，从数学上可以表明其方法对大州有利。他那高傲的演讲从未提到过数学的这种偏袒性，虽然，他这个精明的科学家无疑是完全意识到这一点的。但他赞成这种偏袒性，因为他和华盛顿一样，都是来自最大的州，弗吉尼亚（人口630，558）。确实，1792年第一次实行按比例分配众议院成员时，杰佛逊的方法（与汉密尔顿的方法相反）保证了弗吉尼亚州增加一个代表，从而损害了最小的特拉华州（人口55，538）。
从1792年至1841年，杰佛逊的方法被采用了大约半个世纪左右。（我说的“左右”是因为有时众议院的规模没有预先固定，它受到政治利益的调整，使各州不会在一个新的按比例分配制度下失去代表。）丹尼尔·韦伯斯特意识到杰佛逊的方法没有给他的家乡新英格兰各州以充分的代表名额之后，说服国会采用一个新的按比例分配方案。同杰佛逊的方法一样，韦伯斯特的方法（也叫最大分数法）是以选择最大除数为基础的，但是得出的数字不是自动地舍弃分数，而是按照四舍五入的标准常规计算的。对5个州来说，最大除数是957．2，这样B州的情况就比其他两个方法得出的结果更好。
每走一步总有些国会议员反对增加众议院人数，但他们的呼吁无论怎样有说服力，其他人都充耳不闻。奇怪的是，对于一个较大规模的众议院来说，它的笨拙不便要比它的非法行为多。纽约州代表塞缪尔·考克斯说的话很有代表性。他说：“一个人不是因为身材高大而伟大。肥胖不是健康或严厉。喘息的肥胖病不一定是头脑机警的状态。成年人不需要大量的猪油和脂肪。”
没有按照汉密尔顿的方法做曾引起不小的后果：塞缪尔·蒂尔登1876年丧失了总统职位。在选举团里，每个州的选举人数与它的众议员和参议员人数相等。在那次著名的选举中，蒂尔登比卢瑟福·B．哈依斯多获得264，292张民众选票，但哈依斯却因比他多获一张选举团的选票而使他落选。巴林斯基和扬论证，如果按照法律上要求的汉密尔顿的方法做，蒂尔登就会获胜，因为支持他的一个州应该增加一个选举团成员，而支持哈依斯的州就少了一票。
1881年当人口调查局的科长根据1880年人口统计，在调查历届众议院从275席位到350席位规模的按比例分配情况中，终于找出了亚拉巴马悖论。他写信告诉一位议员：“我进行这些计算的时候，我遇到所谓的‘亚拉巴马悖论’问题，我发现在议员总数299位中，亚拉巴马州分配到8个议员席位，但总数是300时，它只获得7个席位。”尽管如此，其后20年，亚拉巴马悖论的缺陷以在理论胜于在实践的方式继续存在。
接着在1901年众议院席位以1900年的人口统计为基础重新按比例分配时，亚拉巴马悖论成为一个实际问题，引起了激烈的辩论。大多数议员通过了一项议案，确定众议院规模为357个席位，科罗拉多州获两个席位。科罗拉多州议员约翰·C．贝尔谴责“由数学家推出的并称之为悖论的暴行”。他注意到，在其他每个拥有350至400席位的众议院，他的州会获得3个而不是2个议员席位。在357席位的众议院，缅因州也受到亚拉巴马悖论的损害，它的一位议员说：“这就像是数学和科学联合起来，把缅因州当作板羽球耍……当数学抓住缅因州的时候，愿上帝保佑她！”
在以后几十年中，杰出的数学家们向众议院进行标榜，并提供了复杂的公式，以避免亚拉巴马悖论，他们的公式对大多数政客来说，是莫明其妙的。其中一个公式在1941年弗兰克林·罗斯福签署“规定用等比例方法在若干州中按比例分配国会议员代表的法令”时被采纳了。
等比例法早在20年前由哈佛大学数学家爱德华·享廷顿提出。他认为，假设在许多州人口不同的情况下，把授于任何两个州的代表名额做比较，其中一个州的名额难免会短少，短多少可以计算。如果从境况较好的州转移一个代表到境况较差的州，能减少它们相对的短少数，就应该转移。例如，拿弗吉尼亚和马萨诸塞两州做比较，如发现弗吉尼亚处境较差，短少3个单位，从马萨诸塞转移一个代表到弗吉尼亚，局面就会转变为马萨诸塞少了两个单位，这个转移应该做，因为相对的短少数——2个单位对3个单位来说——是减少了。倘若不是这种情况，而是转移使马萨诸塞州少了4个单位，那就不应转移，维持现状还公正一些。采用这种按比例分配代表的方式的用意是使相对的短少数减到最低程度。在那些没有成双做比较的州需要转移一个代表时，这种情况将会发生。
将相对的短少数降到最低，这个主意是有吸引力的，但如何衡量短少数呢？在等比例法中，计算短少数是先得出一个州的众议员选区平均数和另一个州的众议员选区平均数之间的差额，然后将该差额表示为较小选区规模的分数。在5个州的例子中，等比例法又产生另一种代表分配情况，有利于C州：
根据上述短少数的计算情况，D州短少了（1106.23—876．50）／876．50，或0．2621。从D州转移一个代表到C州会把C州的平均选区规模改为1，051．80，把D州改为829．75。这种分配不大公正，因为短少数的相对量增加了，C州短少了（1051，80—829.75）／829.75，或0.2676。如果你玩弄上表中的数字，你会发现，再没有其他分配代表的方法比用这个短少数计算的方法更公正了。
可是，这个计算短少数的方法，不能先验地断定它是公正的。你可以只计算出两个规模之间的差数，而不必用分数表示出来。或者你可以计算出每个州每位居民所等于的代表的分数，然后把逐个州的分数之差减到最低。也可能还有其他同样自称公正的计算方法。
用类推法就可以理解短少的定义问题。如果我告诉你，鲍勃的年收入超过杰克1万美元，用这种计算法——收入的绝对差额——杰克少收入1万美元，但这并不能告诉你你想知道的有关他们的生活水平的一切事情。杰克可能每年只挣1万美元，在这种情况下，鲍勃比他多挣100％。可是，如果杰克每年能挣到100万美元，在这种情况下，鲍勃就只比他多挣1％了。倘若申报的收入不是绝对按美元来报，而是按百分比报，则你需要的其他判断他们生活标准的信息就会有所删减。例如，假定你知道鲍勃比杰克多挣100％，这并没告诉你鲍勃在另外用现金买一幢10万美元的房子的情况下，是否能生活得同杰克一样好。如果鲍勃挣20万美元（杰克挣10万美元），他就能省出多余的现金。但是，如果他只挣1万美元（杰克挣5，000美元），他只能买一台家用计算机，买不起房子了。这说明没有一种计算收入差别的方法——不管是以绝对美元、百分比差额、或其他什么方法——可以先验地自称是最好的方法。计算各州派往众议院代表团的相对的代表短少程度，也同样如此。
正如巴林斯基和扬在《美国数学月刊》的一文中提到的那样，罗斯福和国会都不知道等比例法也违反定额。再者，它倾向于照顾较小的州（从5个州的例子中你可以看出这些缺点）。也许你开始认识到，除了由于无法分开一个国会议员所产生的明显不公正这一因素之外，每种按比例分配的制度都受到悖论的干扰。在巴林斯基和扬1982年出版的《公正的代表制：达到一人一票的理想》一书中，他们提出了一项数学论证：既能满足定额又能避免亚拉巴马悖论的按比例分配法是不存在的。
在社会选择理论的最佳方案中（应用数学的一门分支，提出个人的选择机会应该如何结合起来以形成社会的选择），巴林斯基和扬没有停留在只识别各种悖论上，而是继续研究它们是如何反复出现的。现实世界毕竟需要一个解决办法——一个又一个的分配代表的方案。显然，一种几乎可以一劳永逸地摆脱悖论的方法比令他们摸不着头脑的方法更可取。巴林斯基和扬能表明，在任意人口的资料的基础上，韦伯斯特的方法不论是对于大州还是小州都有利，而且比起其他不受亚拉巴马悖论的影响按比例分配的方法来更不违反定额。
巴林斯基和扬的强有力的分析会不会在国会掀起一个回到韦伯斯特的方法的运动呢？如果今天用这个方法（而不是等比例法），其惟一的差别就在于新墨西哥州会丢失一个席位，让给印第安纳州。在众议院人口调查委员会里，以巴林斯基和扬的分析观点为武器的印第安纳州代表团提出了恢复韦伯斯特方法的提案，可是没有引起多少兴趣（除了新墨西哥州代表团的发火之外），提案就在委员会里悄悄逝去了。啊，社会选择理论家真是难逃孤独的命运！
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①巴林斯基和扬，“按比例分配的定额法”，美国数学月刊82（1975年8—9月）：701—730。“)